Przed wojną współwłaściciel i członek zarządu Fabryki Wyrobów Wełnianych „A.M. Warszawski i synowie”, z siedzibą przy ul. Piotrkowskiej 19 oraz fabryką przy ul. Przędzalnianej 20. Z wielu spadkobierców firmy Dawid Warszawski stał się obok matki głównym właścicielem. Z bratem Bendetem toczył kilkuletni spór o majątek po ojcu.
Przed wojną rodzina mieszkała przy ul. Narutowicza 49. W getcie z żoną Frajdą (Franciszką) z domu Reizman i synami Abrahamem i Chaimem Elazerem zamieszkał przy ul. Zgierskiej 40/12. Jego matka Estera Łaja wyjechała w kwietniu 1942 r. do getta warszawskiego.
17 października 1939 r. Dawid Warszawski został powołany do pierwszej Rady Starszych. Jej członków aresztowano 11 listopada i osadzono w więzieniu na Radogoszczu. Był jednym z niewielu, którzy powrócili z więzienia i rozpoczęli pracę w administracji żydowskiej w getcie, również jako członek drugiej Rady Żydowskiej. W czerwcu 1944 r. wszedł w skład Komisji (Komitetu) Międzyresortowego, którego zadaniem była organizacja zarządzonej przez Niemców ewakuacji getta (w ten sposób określano likwidację getta, która w rzeczywistości oznaczała deportację do ośrodka zagłady w Chełmnie nad Nerem w czerwcu i lipcu oraz do Auschwitz-Birkenau w sierpniu 1944 r. Warszawski został niespodziewanie aresztowany 27 czerwca 1944 r., co dokładnie opisał w swoim dzienniku Jakub Poznański: „W nocy z poniedziałku na wtorek nasza Służba Porządkowa aresztowała we własnym letnim mieszkaniu na Marysinie Dawida Warszawskiego wraz z całą rodziną. Uwięziono również dwoje adoptowanych przezeń dzieci oraz służącą. Jak się później okazało, nakaz aresztowania wydało Kripo. Mieszkanie zapieczętowano. We wtorek dzieci i służącą zwolniono. Na ten temat krążą po getcie różne pogłoski. Dawid Warszawski, jedyny żyjący członek pierwszej i drugiej Rady Starszych, odegrał w życiu naszej dzielnicy wybitną rolę. On to stworzył Centralę Zakupu, założył fabrykę tekstylną oraz zorganizował Centralę Krawiecką, której był kierownikiem do ostatniej chwili”. W Kronice podano z kolei spekulacje na temat powodów zatrzymania: „Niektórzy twierdzą, że znaleziono u niego dwa złote zegarki, inni znów mówią, że wiedzą, że nic nie znaleziono i że nie chodzi tu o zwykłe typowe dla getta aresztowanie, lecz o okoliczność większego kalibru sprzed wielu lat i że jest ona rozpatrywana w mieście. Aresztowanie to, mimo iż getto ma inne zmartwienia, wywołało wielką sensację”1.
W nocy z 6 na 7 lipca Warszawski został wraz z rodziną zabrany do miasta. Prawdopodobnie został zamordowany.